Kali ini kami akan bahas tentang Induksi Matematika, dari Pengertian, Materi, Prinsip, Pembuktian dan Contoh soal sederhana Induksi Matematika juga pembahasannya lengkap, kami menggunakan bahasan pada kelas 11 agar lebih mempermudah pemahaman.
Daftar Isi
Induksi Matematika
Induksi matematika adalah suatu kegiatan penalaran deduktif (argumen deduktif) yang berkaitan dengan pembuktian matematika, yang pada akhirnya akan mendapatkan jawaban benar atau salah, ekivalen atau ingkaran juga penarikan kesimpulan.
Dalam matematik, induksi matematika merupakan sebuah dasar asumsi (Aksioma) bagi beberapa pernyataan (teorema) yang melibatkan bilangan asli.
Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Yang mana ini adalah suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran dari pernyataan yang berlaku secara umum, sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar.
Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.
Para ahli matematika mengaplikasikan induksi matematika guna menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya.
Materi Induksi Matematika Kelas 11 “Mudah”
Untuk pelajaran Induksi Matematika kelas 11 prinsipnya sama saja, cuma lebih ke pembuktian yang sederhana dan mudah, baik kita masuk ke pengertian Induksi Matematika yang lebih simple.
Soal induksi matematika berisi tentang rumus atau teknik pembuktian dalam matematika masuk juga ke logika matematika. Teknik induksi matematika diperkenalkan oleh De Morgan pada abad ke-19.
Simak Bahasan dibawah ini Agar Lebih Paham
Seperti yang kami jelaskan di atas, Bahwa Induksi matematika adalah salah satu cara pembuktian rumus atau logika matematika, lebih tepatnya metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus.
Agar lebih memahami apa yang kita pelajari, sebaiknya kita langsung masuk ke contoh kasusnya. Kami buatkan kasus sederhana, Misal kita punya deret bilang seperti ini: 1+2+3…+n
Untuk nilai n tertentu, kita bisa mencari jumlah dari deret bilangan di atas. Sebagai contoh, untuk n=2, kita mendapatkan hasil: 1+2 = 3.
Untuk n=2, ternyata kita mendapatkan bahwa jumlah deretnya adalah 3.
Lalu jika n=5, Bagaimana? Caranya mudah kita tinggal hitung lagi seperti ini: 1+2+3+4+5 = 15.
Kita dapatkan jumlahnya adalah 15. begitu juga untuk nilai n=8, n=11, n=12345 dan seterusnya caranya adalah sama.
Untuk menghitung jumlah deret tersebut di atas untuk n bilangan asli berapapun angkanya, ternyata “Sudah Ada Rumusnya“.
Jadi kita tidak perlu repot untuk menjumlahkan semuanya atau satu persatu seperti cara di atas, kita hanya perlu memasukan nilai n kedalam rumus tersebut, rumus tersebut adalah sebagai berikut:
Tapi kita tahu dari mana bahwa rumus di atas itu benar?, dari mana bahwa rumus tersebut berlaku untuk seluruh nilai n bilangan asli?, untuk mengetahuinya maka kita perlu pembuktian, bagaimana cara membuktikannya?.
Pembuktian
Sebelum masuk ke pembuktian dengan Induksi Matematika, coba kita tes terlebih dahulu apakah nilai Sn dalam rumus di atas benar untuk nilai-nilai n yang sebelumnya udah kita hitung. Kita mulai dari n=2.
Ternyata benar hasilnya sama untuk n=2. Sekarang coba kita coba untuk n=5.
Ternyata hasilnya sama juga, dari contoh pembuktian di atas kita bisa menyimpulkan kalau rumus Sn ini adalah benar.
Tapi….,ternyata di atas kita hanya menguji untuk 2 nilai n saja, dan dalam ilmu matematika melakukan generalisasi seperti ini tidak bisa kita lakukan.
Untuk bisa membuktikan kalau rumus Sn ini benar, kita harus benar-benar bisa membuktikan kalau rumus Sn ini benar untuk “SEMUA nilai n bilangan asli”.
Mungkin kita akan berguman, kalau untuk membuktikan semua nilai n, kapan beresnya? karena akan ada banyak yang harus dicoba. Misal nilai n=7, nilai n=111, nilai n=1010, nilai n=45345563, dan seterusnya. Ada tak hingga nilai n yang harus kita coba.
Inilah kenapa kita harus menggunakan Induksi Matematika guna membuktikannya.
Prinsip Dasar Induksi Matematika
Dengan prinsip dasar induksi matematika ini kita akan bisa membuktikan rumus Sn di atas tanpa harus menghitung satu persatu nilai Sn nya. Prinsip dasar pembuktian Induksi matematika adalah dengan melakukan 2 langkah sebagai berikut:
- Buktikan bahwa rumus tersebut benar untuk nilai n dasar (pada contoh di atas, buktikan untuk n=1).
- Buktikan bahwa jika rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga benar untuk n=k+1.
Sekarang ada pertanyaan, Apa penyebab kedua langkah di atas dapat membuktikan Sn benar untuk semua nilai n bilangan asli?
Efek Domino
Jawabannya adalah, karena efek domino. Sekarang kita lihat kedua kedua langkah di atas dengan teliti.
Langkah 1: Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.
Langkah pertama ini caranya adalah dengan kita masukkan nilai n=1 ke persamaan, lalu kita hitung deretnya. bisa kita simpulkan bahwa: S1 benar (Sn benar untuk n=1).
Langkah 2: Buktikan bahwa jika benar untuk n=k, maka dia benar juga untuk n=k+1.
Pada langkah pertama kita sudah membuktikan bahwa Sn benar untuk n=1, yang artinya benar juga untuk n=2. Jika Sn benar untuk n=2, maka Sn benar juga untuk n=3. Kalau Sn benar untuk n=3, maka Sn benar juga untuk n=4. Dan seterusnya sampai n yang tidak terhingga.
Jika masih bingung, kita buat mudah lagi, caranya adalah dengan membuat premis atau landasan pembuktian dari 2 langkah di atas, kita buat 2 premis, premis 1 untuk pernyataan pada langkah 2 dan premis 2 untuk pernyataan pada langkah 1, hasilnya:
- Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1
- Premis 2: Sn benar untuk n=1
Jika kita memiliki dua premis diatas, apa kesimpulan yang bisa kita dapat?, Berhubung nilai k=1, berarti k+1 itu adalah 2.
Berarti kesimpulannya adalah Sn benar untuk n=2. Sekarang kita lanjutkan dengan cara memasukan kesimpulan di atas kedalam premis 2.
- Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1
- Premis 2: Sn benar untuk n=2
Kesimpulannya adalah Sn benar untuk n=3. Ini masih bisa kita lanjutkan lagi dengan teknik yang sama. Kesimpulan ini kita jadikan premis 2.
- Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn benar untuk n=k+1
- Premis 2: Sn benar untuk n=3
Kesimpulannya adalah, Sn benar untuk n=4. Kalau mau kita bisa meneruskan proses ini, tapi kita harus berhenti dan mulai menuliskan kesimpulannya, yaitu
Bahwa Sn benar untuk semua n bilangan asli.
Inilah efek domino, Induksi Matematika seperti ini, jika kita menjatuhkan kartu domino yang berdiri maka semua kartu domino akan jatuh semuanya secara bergantian.
Pembuktian Induksi Matematika
Bahasan di atas adalah prinsip atau konsep dasar dari Induksi Matematika, lalu bagaimana proses pembuktiannya, kita gunakan contoh dalam bahasan di atas, sebagai berikut.
Dalam contoh diatas, deret ini memiliki Un = n dan Sn = n(n+1)/2. Sekarang kita akan buktikan dengan Induksi Matematika bahwa rumus Sn di atas adalah benar.
Langkah 1: Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.
Kita tahu bahwa untuk n=1, jumlahnya harus sama dengan 1. Berarti kalau S1 itu sama dengan 1, berarti langkah sebagai berikut.
Langkah 2: Buktikan bahwa jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1.
Untuk langkah 2 ini, cara membuktikannya adalah dengan membuktikan kalau persamaan di bawah ini benar.
Kalau persamaan di atas benar, itu sama saja dengan membuktikan bahwa jika Sk benar, maka Sk+1 juga benar.
Jadi, kalau kita masukkan n=k dan n=k+1 pada rumus Sn, maka akan kita dapatkan:
Dari hasil diatas, kita bisa buktikan dengan cara:
Bagian (k+1)-nya kita tandai kemudian kita keluarkan (hukum distributif)
Sehingga hasilnya:
Ternyata hasilnya sama peris dengan Sk+1 yang kita hitung pada tabel di atas. Berarti kita dapat simpulkan bahwa persamaan berikut adalah benar.
Karena Sn terbukti benar pada langkah 1 dan juga terbukti benar pada langkah 2, maka kita bisa simpulkan bahwa rumus Sn benar untuk semua n bilangan asli.
Contoh Soal Induksi Matematika
Di bawah ini kami berikan contoh soal induksi matematika dan pembahasan tentang pembuktiannya, kami tampilkan soalnya, dan jika ingin mengetahui bahasannya silahkan klik pembahasan yang ada di bawah soal.
[toggle title=”Lihat Jawaban & Bahasan”]1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n – 1) = n^2$
[/toggle]
[toggle title=”Lihat Bahasan”]2. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa:
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{1}{2}n(n + 1)$
[/toggle]
[toggle title=”Lihat Bahasan”]3. Buktikan bahwa:
$2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n + 1)$
[/toggle]
[toggle title=”Lihat Bahasan”]4. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$.
[/toggle]
[toggle title=”Lihat Bahasan”]5. Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan bahwa:
$1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + n(n + 1) = \dfrac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$
[/toggle]
[toggle title=”Lihat Bahasan”]6. Buktikan bahwa:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{1}{4}n^2(n + 1)^2$
[/toggle]
[toggle title=”Lihat Bahasan”]7. Buktikan bahwa:
$2^2 + 4^2 + 6^2 + \cdots + (2n)^2 = \dfrac{2}{3}n(n + 1)(2n + 1)$
[/toggle]
[toggle title=”Lihat Bahasan”]8.Buktikan bahwa:
$\dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \cdots + \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{n}{n + 1}$
[/toggle]
[toggle title=”Lihat Bahasan”]9. Dengan logika matematika buktikan bahwa:
$\dfrac{1}{1.3} + \dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \cdots + \dfrac{1}{(2n – 1)(2n + 1)}$
$ = \dfrac{n}{2n + 1}$
[/toggle]
Induksi Matematika PDF
Versi lengkap Materi Induksi Matematika kelas 11 dalam format PDF bisa anda download disini.
Video Cara Mudah Pembuktian Kelas 11
Berikut kami lampirkan juga video agar lebih mudah untuk di pahami.
Pembahasan lainnya:
Demikian pembahasan contoh soal induksi matematika dan pengertian yang mudah, yang kami rangkum dari berbagai sumber, seperti zenius, ruangguru juga dari Bpk oslin Sibarani Alumni Teknik Sipil ITB yang merupakan penulis di maretong.com dan tutorialspoint.com.
